Himpunan Berukuran Nol

Ketika membahas fungsi tangga Cantor, saya menyatakan bahwa fungsi ini mempunyai turunan pada [0, 1] kecuali pada suatu ‘himpunan berukuran nol’. Sebetulnya, apa yang dimaksud dengan ‘himpunan berukuran nol’ itu?

Konsep ukuran diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1901 (yang kemudian ia gunakan untuk mengembangkan suatu konsep integral yang berbeda dengan integral ala Riemann). Ukuran luar dari suatu himpunan E ⊆ R didefinisikan sebagai

λ*() := inf { ∑|Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k}.

Di sini |Ik| menyatakan panjang interval Ik: Jika I := (a, b), maka |I| = ba. Himpunan A := { ∑|Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k} merupakan suatu himpunan bilangan real ‘diperluas’ yang terbatas di bawah oleh 0, dan inf A adalah ‘batas bawah terbesar’ dari A. Dalam hal ini, λ*() = inf A merupakan suatu bilangan tak negatif.

Sebagai contoh, jika E adalah suatu himpunan terhingga, katakanlah E := {a1, …, an}, maka λ*() = 0. (Kita dapat mencari n interval buka I1, …, In sedemikian sehingga E ⊆ I1 ∪ … ∪ In dengan |I1| + … + |In| sekecil-kecilnya.) Catat pula jika I adalah suatu interval (buka, setengah buka, atau tutup), maka λ*() = |I|.

Himpunan E dikatakan terukur apabila untuk setiap ε > 0 terdapat suatu himpunan buka G dan suatu himpunan tutup F sedemikian sehingga F ⊆ E ⊆ G dan λ*(G \ ) < ε. Sebagai contoh, himpunan terhingga {a1, …, an} merupakan himpunan terukur, karena kita dapat memilih

F := Ø dan G := (a1 – δ, a1 + δ) ∪ … ∪ (an – δ, an + δ)

dengan 2nδ < ε, sedemikian sehingga λ*(G \ ) = λ*() ≤ 2nδ < ε. Lebih umum, semua himpunan yang berukuran luar 0 merupakan himpunan terukur.

Jika E terukur, maka ukuran dari E kemudian didefinisikan sebagai λ() := λ*(). Sebagai contoh, jika E merupakan himpunan terhingga, maka λ() = 0. Nah, himpunan E dengan λ() = 0 disebut himpunan berukuran nol.

Selain himpunan terhingga, secara umum himpunan terbilang merupakan himpunan berukuran nol (sila buktikan!). Jadi, sebagai contoh, himpunan semua bilangan rasional Q merupakan himpunan berukuran nol. Tetapi, jangan salah, tidak setiap himpunan berukuran nol merupakan himpunan terbilang. Dalam perkataan lain, terdapat himpunan tak terbilang yang berukuran nol. Dapatkah Anda menemukan contohnya?

*

Bandung, 28-07-2017

Advertisements

One comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s