Fungsi Monoton Sejati dan Inversnya

Fungsi f dikatakan naik sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) > f(y). Fungsi naik sejati atau turun sejati pada I disebut fungsi monoton sejati pada I.

Fungsi monoton sejati merupakan fungsi satu-ke-satu, dan karenanya ia akan mempunyai invers.

Buktikan jika f naik sejati pada I dan J = {f(x) : xI}, maka invers dari f naik sejati pada J. (Serupa dengan itu, jika f turun sejati pada I dan J = {f(x) : xI}, maka invers dari f turun sejati pada J.)

*

Bandung, 06-06-2017

Advertisements

3 comments

  1. Wah, saya sudah lama tidak “bersentuhan” dengan analisis, nih. Saya coba, ya, Pak:

    Asumsikan f: I \mapsto J. Misalkan a,\ b \in J sedemikian sehingga a < b. Akan ditunjukkan bahwa f^{-1}(a) = f^{-1}(b).
    (i) Tidak mungkin f^{-1}(a) = f^{-1}(b), sebab ini berarti f bukan fungsi.
    (ii) Apabila f^{-1}(a) > f^{-1}(b), maka kita menemukan A,\ B \in I dengan A > B, sedemikian sehingga a < b atau f(A) < f(B). Padahal, f adalah fungsi yang naik sejati. Kontradiksi.

    Dengan demikian haruslah jika f naik sejati pada I, inversnya naik sejati pada J.

    Like

    1. Hmmm, sepertinya LaTeX-nya agak error sehingga beberapa bagian tidak muncul, saya coba ketik ulang tanpa LaTeX:

      Wah, saya sudah lama tidak “bersentuhan” dengan analisis, nih. Saya coba, ya, Pak:

      Asumsikan f: I => J naik sejati. Misalkan a, b anggota J sedemikian sehingga a < b. Akan ditunjukkan bahwa f^{-1}(a) f^{-1}(b), maka kita menemukan A, B anggota I dengan A > B, sedemikian sehingga a < b atau f(A) < f(B). Padahal, f adalah fungsi yang naik sejati. Kontradiksi.

      Dengan demikian haruslah jika f naik sejati pada I, inversnya naik sejati pada J.

      Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s