Himpunan Cantor Terner

Bila Anda merasa sudah cukup akrab dengan bilangan real, tetapi belum berkenalan dengan himpunan Cantor terner, pemahaman Anda tentang bilangan real belum lengkap. Artikel ini memperkenalkan himpunan yang menyandang nama matematikawan Georg Cantor (1845-1918) tersebut, yang disadur dari buku Menuju Tak Terhingga (Penerbit ITB, 2016). Di akhir artikel, ada problem kecil untuk Anda, untuk mengecek apakah Anda sudah memahami himpunan unik ini.

Himpunan Cantor terner dikonstruksi secara iteratif, sebagai berikut. Dimulai dengan interval tutup I0 := [0, 1], kita bagi interval ini menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang interval buka (⅓, ⅔) yang berada di tengah. Sisanya adalah gabungan dua interval tutup, [0, ⅓] ∪ [⅔, 1] =: I1.

Himpunan Cantor Terner_1

Himpunan Cantor Terner

Selanjutnya, kita bagi masing-masing interval pada I1 menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang kedua interval buka di tengah. Sisanya merupakan gabungan empat interval tutup, yaitu [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 1] =: I2. Proses ini kita lanjutkan terus ad infinitum: Pada langkah ke-i, kita peroleh himpunan Ii yang merupakan gabungan dari sejumlah interval tutup (2i banyaknya). Perhatikan bahwa

Himpunan Cantor Terner 2

Selanjutnya, misalkan

Himpunan Cantor Terner_3

yaitu irisan dari semua himpunan Ii. Titik-titik ujung interval Ii, seperti 1/3, 7/9, 26/27, dan seterusnya, jelas merupakan anggota H. Jadi, H bukan himpunan kosong. Tetapi, anggota H bukan hanya titik-titik ujung interval tersebut!

Sebagai contoh, ¼ adalah anggota H yang bukan titik ujung salah satu interval tersebut. Dalam sistem bilangan terner (basis 3), anggota H adalah semua bilangan yang tidak mengandung angka 1 di belakang tanda koma. Nah,

Himpunan Cantor Terner_4

sehingga ia merupakan anggota H. (Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret geometri dengan rasio 1/9.) Dari angka-angka di belakang tanda koma, kita bisa mengetahui bahwa pada proses pembuangan interval di tengah yang pertama, ¼ berada di interval bagian paling kiri, yaitu [0, ⅓], karena itu ia ‘selamat’. Lalu, pada proses pembuangan interval di tengah yang kedua, ia berada di interval bagian paling kanan dari [0, ⅓], sehingga ia tetap selamat, dan begitu seterusnya.

Problem: Buktikan bahwa 3/10 merupakan anggota H.

Catatan. Himpunan H, yang dikenal sebagai himpunan Cantor terner, termasuk dalam kategori fraktal. Dari proses pembentukannya, jelas bahwa H tidak memuat interval sekecil apapun. Namun demikian, dapat dibuktikan bahwa H memiliki kardinalitas yang sama dengan R. Ini berarti bahwa anggota H jauh lebih banyak daripada bilangan rasional.

*

Bandung, 18-08-2016

Advertisements

3 comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s